Ein kleines Rätsel für Zwischendurch zum Gehirnjogging:

Ein Zahlensatz für Kuckucksuhren besteht gewöhnlich aus 4 Stück in der Form VIIIIIX gestalteter Guss-Rohlinge:



Durch insgesamt 8 Schnitte kann man daraus die benötigten Zahlen von I bis XII gewinnen.
Die Frage lautet nun:

Wie viele Varianten gibt es, daraus die benötigten 12 Zahlen zu schneiden?
Dabei soll keine Zahl gestückelt werden, sondern jede Zahl soll aus einer zusammenhängenden Ligatur bestehen.

Moritz

Wikipedia sagt eine Variante.
Acht Schnitte ergeben zwölf Zahlen:
V IIII IX
VI II IIX
VII III X
VIII I IX

Sagen wir so:
Wikipedia kennt nur eine Variante.
Das wäre ja auch zu leicht!

Drum hatte ich auch nicht gefragt, "nenne mir eine funktionierende Variante", sondern "wie viele Varianten gibt es?"
Falls es nur diese eine gibt: (Wie) kann man ausschließen, dass es noch weitere gibt?
Und falls nicht: Welche?


Moritz

VIII IIX
VI I II IX
V IIII IX
VII III X

IIX drehste auf den Kopf, dann haste XII.
IV gibt's nicht auf dem Ziffernblatt, das ist immer (römisch inkorrekt) IIII.

Ganz genau, ich möchte folgende zwölf, jeweils zusammenhängenden Zahlen:
I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.
Das sind 36 Striche, die sich ohne Verschnitt und ohne Rest aus den vier Rohlingen VIIIIIX gewinnen lassen, wenn man, wie von Gustav Becker richtig erkannt, die Zahlen bedarfsweise auf den Kopf drehen kann. Das heißt, jede Zahl darf nur jeweils ein Mal vorkommen, wobei 9 und 11 identisch sind.
Zwei Lösungen haben wir schon.
Aber wie viele gibt es?

VIII IIX
VI III IX
VII II IX
V I IIII X

Die Frage ist, ob man es als weitere Variante gelten läßt, wenn man die inneren Zahlen vertauscht (bei drei Teilungen pro Rohling)? Also z.B.
V I IIII X und V IIII I X. Dann hätten wir noch eine zusätzliche Variante.

Ja, wie willst Du sonst aus weniger Sätzen zwölf Ziffern erhalten?
Wenn keiner was dagegen hat, kann ich die Auflösung für alle möglichen Varianten mal erläutern:

Zunächst alle möglichen Teilungen auflisten (ohne Vertauschen der inneren Zahlen bei drei Teilungen), sortiert nach Anfangszahl. Die Ziffer dahinter gibt die Anzahl der Zerteilungen an. Wozu das gebraucht wird, erschließt sich aus dem nächsten Schritt.

V I II IIX 3
V I III IX 3
V I IIII X 3
V II III X 3
VI I II IX 3
VI II IIX 2
VI III IX 2
VI IIII X 2
VII I IIX 2
VII II IX 2
VII III X 2
VIII IIX 1
VIII I IX 2
VIII II X 2

Jetzt geht es um die mögliche Aufteilung. Sie muß in Summe acht ergeben, damit man zwölf Zahlen erhält. Man hat hier schon die erste Einschränkung: Die V erhält man nur mit einem dreigeteilten Rohling, also muß ein Summand auf jeden Fall drei sein.
Da es nur eine Variante mit einer einzigen Teilung gibt (VIII IIX), haben wir als nächste Eingrenzung die einzig mögliche Aufteilung:
1 + 2 + 2 + 3 = 8

Das schränkt die Sache doch erheblich ein.
Es muß also definitiv immer die Variante VIII IIX vorhanden sein. Wir müssen jetzt nur noch die drei verbleibenden Pärchen finden.

Nächster Schritt: Finden einer Dreierteilung durch Ausschluß.
V I II IIX scheidet sofort aus, denn wir haben ja schon die IIX.

Versuchen wir es mit dem nächsten:
V I III IX
Soweit so gut, fehlen noch zwei Zweierpärchen. Eines davon muß IX beinhalten, denn das brauchen wir ja doppelt:
VI III IX
VII II IX
VIII I IX
Das erste fliegt raus (III doppelt), das letzte auch (I doppelt).

Wir haben jetzt also:
VIII IIX (immer mit von der Partie)
V I III IX (Versuch: Dreierteilung Nr. 2)
VII II IX (zweite Zweierteilung)
Fehlen noch die Zahlen VI IIII X, genau das ist unsere letztes Pärchen.

ERSTE VARIANTE GEFUNDEN!


Auf zum nächsten Dreierteilungs-Versuch:
V I IIII X
Übriggebliebene Zweierteilungen ohne Doppelungen (bis auf IX):
VI III IX
VII II IX

Wir haben also:
VIII IIX (stets dabei)
V I IIII X (Versuch: Dreierteilung Nr. 3)
VI III IX
VII II IX

ZWEITE VARIANTE GEFUNDEN!


Nächste Dreierteilung Nr. 4:
V II III X
Es bleibt nur eine Zweierteilung übrig:
VI III IX
Da wir zwei Zweierteilungen brauchen, funktioniert die vierte Dreierteilung nicht.

Letzte Dreierteilung probieren:
VI I II IX
Zweierteilungen aussortiert:
VII III X
Es bleibt wieder nur eine Zweierteilung übrig, also wird es mit der Dreierteilung VI I II IX nix.


Es gibt demzufolge zwei Varianten:
a) VIII IIX, V I III IX, VII II IX, VI IIII X
b) VIII IIX, V I IIII X, VI III IX, VII II IX

Läßt man die (primitive) Vertauschung der inneren Zahlen zu, sind es weitere zwei Varianten:
c) VIII IIX, V III I IX, VII II IX, VI IIII X
d) VIII IIX, V IIII I X, VI III IX, VII II IX

Zitat von Gustav Becker im Beitrag #10

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Wenn keiner was dagegen hat, kann ich die Auflösung für alle möglichen Varianten mal erläutern:

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Zitat von Gustav Becker im Beitrag #10

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Man hat hier schon die erste Einschränkung: Die V erhält man nur mit einem dreigeteilten Rohling

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Tja, und jetzt kann ich den Mist nicht mehr bearbeiten...

Und Du lehnst Dich zurück und wartest, bis Dir alles vorgekaut wird. ;)

Unter Berücksichtigung der Teilung V IIII IX ergibt sich die zusätzliche Verteilung 2 + 2 + 2 + 2 = 8.
Da findet man durch Ausschluß die zwei Möglichkeiten
V IIII IX, VI II IIX, VII III X, VIII I IX
V IIII IX, VI III IX, VII I IIX, VIII II X

...zu den schon gefundenen 1 + 2 + 2 + 3 = 8
VIII IIX, V I III IX, VII II IX, VI IIII X
VIII IIX, V I IIII X, VI III IX, VII II IX

Und durch Vertauschen noch wie gesagt:
VIII IIX, V III I IX, VII II IX, VI IIII X
VIII IIX, V IIII I X, VI III IX, VII II IX